Question

已知函數f(x)=

1-x

x

+lnx
（1）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；（參考數據：ln2≈0.7）
（2）求證：ln

n

n-1

＞

1

n

；
（3）求證：對大于1的任意正整數n，都有 lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）求導函數，確定函數的單調性，比較端點的函數值，即可求得結論；
（2）先判斷函數f（x）的單調性，令x=

n

n-1

代入函數f（x）根據單調性，即可得到不等式ln

n

n-1

＞

1

n

，
（3）由（2）令n=1，2，…代入可證．

解答：（1）解：求導函數，可得f′(x)=

x-1

x2

∴x∈[

1

2

，1]時，f′（x）＜0，函數單調遞減，x∈（1，2]時，f′（x）＞0，函數單調遞增
∴f（x）在[

1

2

，2]上有唯一極小值點，且為最小值點，最小值為f（1）=0
∵f(

1

2

)=1-ln2，f(2)=-

1

2

+ln2，
∴f(

1

2

)-f(2)=

lne3-ln16

2

＞0
∴f(

1

2

)＞f(2)
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值為1-ln2；
（2）證明：當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數．
當n＞1時，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

；
（3）證明：由（2）知，ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，…，ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

即對大于1的任意正整數n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，考查函數的最值，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．