Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），且當x＞0時，f（x）＞1；f（2）=4．
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；    
（Ⅱ）證明：f（x）是單調遞增函數；
（III） 若f(x2-ax+a)≥

2

對任意x∈（1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件知f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=4，f（1）=f（（-1）+2）=f（-1）•f（2），由此能求出f（1）和f（-1）．
（Ⅱ）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]，由x₂-x₁＞0，知f（x₂-x₁）-1＞0，再由f（x₁）=f（

x1

2

+

x1

2

）=[f（

x1

2

）]²＞0，能夠證明f（x）在R上是增函數．
（III）由f(x2-ax+a)≥

2

，知f（x²-ax+a）•f（x²-ax+a）=f（2x²-2ax+2a）≥2=f（1），再由f（x）在R上是增函數，能夠求出實數a的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：∵定義在R上的函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y）（x，y∈R），
且當x＞0時，f（x）＞1，f（2）=4，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=4，
∴f（1）=2，或f（1）=-2（舍）．
故f（1）=2．
∵f（1）=f（（-1）+2）=f（-1）•f（2），
∴f（-1）=

f(1)

f(2)

=

2

4

=

1

2

．
（Ⅱ）證明：設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂-x₁）-1＞0，
∵f（x₁）=f（

x1

2

+

x1

2

）=[f（

x1

2

）]²＞0，
∴f（x₁）f[（x₂-x₁）-1]＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上是增函數．
（III）解：∵f(x2-ax+a)≥

2

，
∴f（x²-ax+a）•f（x²-ax+a）=f（2x²-2ax+2a）≥2=f（1），
∵f（x）在R上是增函數，
∴2x²-2ax+2a≥1，
∴由f(x2-ax+a)≥

2

對任意x∈（1，+∞）恒成立，
得2x²-2ax+2a≥1對任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵y=2x²-2ax+2a-1的對稱軸是x=

a

2

，
∴在[

a

2

，+∞）上y=2x²-2ax+2a-1是單調遞增函數．
∵2x²-2ax+2a≥1對任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴

a

2

≤1，故a≤2．
∴實數a的取值范圍（-∞，2]．

點評：本題考查抽象函數的應用，考查函數的單調性的判斷與證明，突出考查等價轉化思想的運用，考查基本不等式，綜合性強，難度大，屬于難題．