Question

設平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=(cosx+2

3

，sinx)，

c

=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若

a

⊥

c

，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，

π

2

)，證明

a

和

b

不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函數f(x)=

a

•(

b

-2

c

)的最大值，并求出相應的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩個向量垂直，它們的數量積等于0，以及二倍角的余弦公式求得cos（2x+2α）的值．
（Ⅱ）假設

a

與

b

平行，則 cosxsinx-sinx(cosx+2

3

)=0，即 sinx=0，與已知矛盾．
（Ⅲ）若α=0，則

c

=(0，1)，函數f(x)=

a

•(

b

-2

c

)═1-2sinx+2

3

cosx=1+4sin(x+

2

3

π)，
利用正弦函數的有界性求出函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）若

a

⊥

c

，則

a

•

c

=0，cosxsinα+sinxcosα=0，sin（x+α）=0
所以，cos（2x+2α）=1-2sin²（x+α）=1．
（Ⅱ）假設

a

與

b

平行，則 cosxsinx-sinx(cosx+2

3

)=0，即 sinx=0，
而x∈(0，

π

2

)時，sinx＞0，矛盾，故

a

和

b

不可能平行．
（Ⅲ）若α=0，

c

=(0，1)，
則f(x)=

a

•(

b

-2

c

)=(cosx，sinx)•(cosx+2

3

，sinx-2)
=cosx(cosx+2

3

)+sinx(sinx-2)=1-2sinx+2

3

cosx=1+4sin(x+

2

3

π)，
所以，f(x)max=5，x=2kπ-

π

6

(k∈Z)．

點評：本題考查兩個向量的數量積公式的應用，兩個向量平行、垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算．