Question

設平面向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（cosx+2

3

，sinx），x∈R，
（1）若x∈（0，

π

2

），證明：

a

和

b

不可能平行；
（2）若

c

=（0，1），求函數f（x）=

a

•（

b

-2

c

）的最大值，并求出相應的x值．

Answer 1

分析：（1）利用反證法進行證明，假設

a

和

b

平行，根據共線向量的坐標關系建立等式，然后找出矛盾即可；
（2）根據數量積公式化簡函數f（x）=

a

•（

b

-2

c

），整理成Asin（ωx+φ）+B形式，從而可求出最大值，并求出相應的x值即可．

解答：解：（1）假設

a

和

b

平行，則cosxsinx-sinx（cosx+2

3

）=0
則2

3

sinx=0即sinx=0，
而x∈（0，

π

2

）時，sinx＞0，矛盾．
∴

a

和

b

不可能平行；
（2）f（x）=

a

•（

b

-2

c

）=

a

•

b

-2

a

•

c

=cos²x+2

3

cosx+sin²x-2sinx
=1-2sinx+2

3

cosx
=1-4sin（x-

π

3

）
所以f（x）_max=5，x=2kπ-

π

6

（k∈Z）．

點評：本題主要考查了平面向量數量積的運算，以及平行向量與共線向量的坐標關系，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．