Question

設(shè)雙曲線的左準(zhǔn)線與它的兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，左焦點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

（1，

2

）

．

Answer 1

分析：求出漸近線方程及準(zhǔn)線方程，求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用圓內(nèi)的點(diǎn)到圓心距離小于半徑，列出不等式，即可求出離心率的范圍．

解答：解：設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則漸近線方程為y=±

b

a

x，左準(zhǔn)線方程為x=-

a2

c

∵雙曲線的左準(zhǔn)線與它的兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，∴A（-

a2

c

，

ab

c

），B（-

a2

c

，-

ab

c

）
∵左焦點(diǎn)為在以AB為直徑的圓內(nèi)，
∴-

a2

c

+c＜

ab

c

，
∴b＜a
∴c²＜2a²
∴1＜e＜

2

故答案為：（1，

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的準(zhǔn)線、漸近線方程，考查點(diǎn)圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．