Question

已知集合p=[

1

2

，2]，函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，
（1）若P∩Q≠Φ，求實數a的取值范圍；
（2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]內有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用分離參數法轉化為求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，
（2）求出解析式對應函數的值域，讓該參數是該值域的一個元素即可保證存在性．

解答：解：（1）若P∩Q≠Φ，則在[

1

2

，2]內至少存在一個x使ax²-2x+2＞0成立，即a＞-

2

x2

+

2

x

∵-

2

x2

+

2

x

=-2（

1

x

-

1

2

）²+

1

2

∈[-4，

1

2

]，
∴a＞-4（5分）
（2）方程log₂（ax²-2x+2）=2在[

1

2

，2]內有解，則ax²-2x-2=0在[

1

2

，2]內有解，
即在[

1

2

，2]內有值使a=

2

x2

+

2

x

成立，
設u=

2

x2

+

2

x

=2（

1

x

+

1

2

）²-

1

2

，
當x∈[

1

2

，2]時，u∈[

3

2

，12]，
∴a∈[

3

2

，12]，
∴a的取值范圍是

3

2

≤a≤12．（10分）

點評：考查存在性問題求參數范圍，本題中兩個小題都是存在性，因為其轉化的最終形式不一樣，所以求其參數方式不一樣，一是求最值，一是求值域．答題者應細心體會其不同．此類題一般難度較大，要求有較強的邏輯推理能力進行正確的轉化．