Question

已知集合P=[

1

2

，2]，函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q．
（1）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]內有解，求實數a的取值范圍．
（2）若P∩Q≠∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本小題是一個存在性的問題，故應求出解析式對應函數的值域，讓該參數是該值域的一個元素即可保證存在性．
（2）本小題也是一個存在性的問題，此類題求參數一般轉化為求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值．

解答：解：（1）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[

1

2

，2]內有解，則ax²-2x-2=0在[

1

2

，2]內有解，
即a=

2

x2

+

2

x

在[

1

2

，2]內有解，
設μ=

2

x2

+

2

x

=2(

1

x

+

1

2

)2-

1

2

，
當x∈[

1

2

，2]時，μ∈[

3

2

，12]，
所以a∈[

3

2

，12]，
所以a的取值范圍是

3

2

≤a≤12．
（2）若P∩Q≠Φ，則在[

1

2

，2]內至少存在一個x，使ax²-2x+2＞0成立，
即a＞-

2

x2

+

2

x

=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

∈[-4，

1

2

]，
所以a的取值范圍是a＞-4．

點評：本題主要考查了存在性問題求參數的范圍，本題中兩個小題都是存在性，因為其轉化的最終形式不一樣，所以求其參數方式不一樣，一是求最值，一是求值域．此類題一般難度較大，要求有較強的邏輯推理能力進行正確的轉化．