Question

【題目】如圖，已知邊長為2的正三角形ABE所在的平面與菱形ABCD所在的平面垂直，且，點F是BC上一點，且．

（1）當時，證明：；

（2）是否存在一個常數k，使得三棱錐的體積等于四棱錐的體積的，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1)取的中點,連結,可知．由平面平面，則有平面,，在菱形中,,可得即證得平面.所以．

(2) 由已知可求得,，即可證得存在常數時滿足題意.

（1）證明：取的中點，連結，由題意知．

又因為平面平面，所以平面．

因為平面，所以，

因為四邊形為菱形，所以，

又因為，所以，所以平面.

又平面，所以．

（2）解：，

，

，所以存在常數，

使得三棱錐D﹣FEB的體積等于四棱錐E﹣ABCD的體積的.