Question

【題目】

已知函數 有極值，且函數的極值點是的極值點，其中是自然對數的底數．（極值點是指函數取得極值時對應的自變量的值）

（1）求關于的函數關系式；

（2）當時，若函數的最小值為，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）， （2）見解析

【解析】

試題（1）先分別求兩函數極值點，再根據條件得關于的函數關系式；最后求自變量取值范圍（2）先研究導函數零點情況，僅有一個零點，再根據導函數符號變化規律確定最小值，最后再利用導數求最小值函數單調性，根據單調性證明不等式

試題解析：（1）因為 ，令，解得．

列表如下．

		極小值

所以時， 取得極小值．

因為，

由題意可知，且

所以，

化簡得，

由 ，得．

所以， ．

（2）因為 ，

所以

記，則，令，解得．

列表如下．

		極小值

所以時， 取得極小值，也是最小值，

此時， ．

令，解得．

列表如下．

		極小值

所以時， 取得極小值，也是最小值．

所以

．

令，則，

記 ， ，

則， ．

因為， ，所以，所以單調遞增．

所以，所以．