Question

【題目】已知函數f（x）=aex﹣x（a∈R），其中e為自然對數的底數，e=2.71828…
（Ⅰ）判斷函數f（x）的單調性，并說明理由
（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=aex﹣x，得f′（x）=aex﹣1， 當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x為R上的減函數；
當a＞0時，令aex﹣1=0，得x=lna，
若x∈（﹣∞，﹣lna），則f′（x）＜0，此時f（x）為的單調減函數；
若x∈（﹣lna，+∞），則f′（x）＞0，此時f（x）為的單調增函數．
綜上所述，當a≤0時，f（x）=aex﹣x為R上的減函數；
當a＞0時，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）為的單調減函數；
若x∈（﹣lna，+∞），f（x）為的單調增函數．
（Ⅱ）由題意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等價于aex﹣x≥e﹣x恒成立，
即x∈[1，2]， 恒成立．
令g（x）= ，則問題等價于a不小于函數g（x）在[1，2]上的最大值．
由g（x）= = ，函數y= 在[1，2]上單調遞減，
令h（x）= ，x∈[1，2]，h′（x）= ．
∴h（x）= 在x∈[1，2]上也是減函數，
∴g（x）在x∈[1，2]上也是減函數，
∴g（x）在[1，2]上的最大值為g（1）= ．
故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的實數a的取值范圍是[ ，+∞）．
【解析】（Ⅰ）求出原函數的導函數，然后對a分類，當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）=aex﹣x為R上的減函數；當a＞0時，由導函數為0求得導函數的零點，再由導函數的零點對定義域分段，根據導函數在各區間段內的符號得到原函數的單調性；（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等價于aex﹣x≥e﹣x恒成立，分離參數a，可得 恒成立．令g（x）= ，則問題等價于a不小于函數g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用導數求得函數g（x）在[1，2]上的最大值得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．