Question

若函數對任意的，均有，則稱函數具有性質.
（Ⅰ）判斷下面兩個函數是否具有性質，并說明理由.
①；   ②.
（Ⅱ）若函數具有性質，且（），
求證：對任意有；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否對任意均有.若成立給出證明，若不成立給出反例.

Answer 1

（Ⅰ）證明：①函數具有性質.                    ……………1分
，
因為，，                                ……………3分
即，
此函數為具有性質.
②函數不具有性質.                                ……………4分
例如，當時，，
，                            ……………5分
所以，，
此函數不具有性質.
（Ⅱ）假設為中第一個大于的值，    ……………6分
則，
因為函數具有性質，
所以，對于任意，均有，
所以，
所以，
與矛盾，
所以，對任意的有.                  ……………9分
（Ⅲ）不成立.
例如                             ……………10分
證明：當為有理數時，均為有理數，
，
當為無理數時，均為無理數，

所以，函數對任意的，均有，
即函數具有性質.                                      ……………12分
而當（）且當為無理數時，.
所以，在（Ⅱ）的條件下，“對任意均有”不成立.……………13分
（其他反例仿此給分.
如，，，等.） 

略