Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的任意一點到它兩個焦點（-c，0），（c，0）的距離之和為2

2

，且它的焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同兩點A，B，且線段AB的中點M不在圓x2+y2=

5

9

內，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓上的任意一點到它兩個焦點（-c，0），（c，0）的距離之和為2

2

，且它的焦距為2，建立方程，可求幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理確定線段AB的中點M的坐標，利用線段AB的中點M不在圓x2+y2=

5

9

內，及判別式，即可確定實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，

2c=2 2a=2 2

，∴

c=1 a= 2

而a²=b²+c²，∴b²=1
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）直線x-y+m=0與橢圓方程聯立，可得3x²+4mx+2m²-2=0
由△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，可得-

3

＜m＜

3

設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），則x₁+x₂=-

4m

3

，y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

2m

3

∴AB中點M（-

2m

3

，

m

3

）
∵線段AB的中點M不在圓x2+y2=

5

9

內，
∴

4m2

9

+

m2

9

≥

5

9

∴m≤-1或m≥1
∵-

3

＜m＜

3

∴-

3

＜m≤-1或1≤m＜

3

．

點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，聯立方程，正確運用韋達定理是關鍵．