已知橢圓的一個頂點為
，焦點在
軸上，若右焦點到直線
的距離為3.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線
與橢圓相交于不同的兩點
、
，當
時，求
的取值范圍.
(1)
；（2）
.
解析試題分析：本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、交點問題、直線的斜率、韋達定理等基礎知識，考查數形結合思想，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，根據條件
，設橢圓的方程，寫出
，得焦點
，代入點到直線的距離公式，得
，得到橢圓的方程；第二問，直線方程與曲線方程聯立，消
，得關于的一元二次方程，據條件有兩個不同實根，所以
，解得
，利用韋達定理，求得
得
中點
的橫縱坐標，求
，由
，得
，整理得
，最后解方程組得.
試題解析：（1）依題意可設橢圓方程為
， .2分
則右焦點的坐標為
， .3分
由題意得
，解得，
故所求橢圓的標準方程為. .5分
（2）設
、
、
，其中為弦
的中點，
由
，得
.7分
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，所以
即 ①， .8分
，所以
，
從而
, .9分
所以
， .10分
又，所以，
因而
，即 ②， .11分
把②式代入①式得
，解得
， .12分
由②式得
，解得
， .13分
綜上所述，求得的取值范圍為. .14分
考點：1.點到直線的距離公式；2.橢圓的標準方程；3.橢圓的性質；4.韋達定理；5.線線垂直的充要條件.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點的雙曲線
的一個焦點是
，一條漸近線的方程是
。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若以
為斜率的直線
與雙曲線相交于兩個不同的點
，且線段
的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
，求
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左右焦點分別是
，離心率
，
為橢圓上任一點，且
的最大面積為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設斜率為
的直線
交橢圓于
兩點，且以
為直徑的圓恒過原點
，若實數
滿足條件
，求的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，直線
與以原點為圓心、橢圓
的短半軸長為半徑的圓
相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，
、
、
是橢圓的頂點，
是橢圓上除頂點外的任意點，直線
交
軸于點
，直線
交
于點
，設的斜率為
，
的斜率為
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
過點
,離心率為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）過點
且斜率為
（
）的直線
與橢圓相交于
兩點，直線
、
分別交直線
于
、
兩點,線段
的中點為
.記直線
的斜率為
，求證: 
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知拋物線
的焦點為F
過點
的直線交拋物線于A
，B
兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N 
（1）求
的值；
（2）記直線MN的斜率為
，直線AB的斜率為
證明：
為定值
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
經過點
離心率
，直線
的方程為
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程；
(Ⅱ)
是經過右焦點
的任一弦(不經過點
)，設直線與直線相交于點
，記
的斜率分別為
問:是否存在常數
，使得
若存在求的值；若不存在，說明理由.
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，求曲線過點
的切線方程。
的焦點為
，其準線與
軸的交點為
，過
交拋物線于
兩點．
，求證：
；
的斜率分別為
，求
的值．