Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosB+bcosA=2c•cosC．
（1）求角C大小；
（2）若sinB+sinA=

3

，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知等式，再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinC不為0求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）由C的度數及內角和定理列出關系式，用A表示出B，代入已知等式中，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角三角函數值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，即可對于三角形ABC形狀做出判斷．

解答：解：（1）∵acosB+bcosA=2c•cosC，
∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
整理得：sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，即cosC=

1

2

，
∵C為三角形的內角，
∴C=60°；
（2）∵A+B+C=180°，C=60°，
∴B=120°-A，
∴sinB+sinA=sin（120°-A）+sinA=

3

2

cosA+

3

2

sinA=

3

，
即

3

sin（A+30°）=

3

，
∴sin（A+30°）=1，
∴A=60°，B=C=120°-A=60°，
則△ABC為等邊三角形．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．