Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，常數λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n對一切正整數n都成立。
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設a₁＞0，λ=100，當n為何值時，數列的前n項和最大？

Answer 1

解（1）當n=1時，
∴a₁（λa₁-2）=0
若取a₁=0，則S_n=0，a_n=S_n-S_n-1=0
∴a_n=0（n≥1）
若a₁≠0，則，
當n≥2時，2a_n=，
兩式相減可得，2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1，
從而可得數列{a_n}是等比數列
∴a_n=a₁·2^n-1==
綜上可得，當a₁=0時，a_n=0，
當a₁≠0時，。
（2）當a₁＞0且λ=100時，
令
由（1）可知
∴{b_n}是單調遞減的等差數列，公差為-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₆=＞0
當n≥7時，
∴數列的前6項和最大。