Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

3

，長軸長為6，0為坐標原點．f₁，F₂分別為橢圓的左，右焦點．
（1）求橢圓c的方程；
（2）若P為橢圓C上的一點，直線PF₂交橢圓于另一點Q，試問是否存在P點使|PF₁|=|PQ|，若存在求△PF₁Q的面積；否則說明理由．

Answer 1

分析：（1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

3

，推出a與c的關系，根據長軸長為6，求出a的值，從而求出橢圓c的方程；
（2）P為橢圓C上的一點，直線PF₂交橢圓于另一點Q，假設存在P點使|PF₁|=|PQ|，利用余弦定理求出p點的橫坐標，從而進行判斷求解；

解答：解：（1）由題意知，2a=6，所以a=3，又e=

3

3

，
得c=

3

，
所求方程為

x2

9

+

y2

6

=1；
（2）設|PF₂|=x，則|PF₁|=6-x，
|F₂Q|=6-2x，|F₁Q|=2x，
|F₁F₂|=2

3

，cos∠F₁F₂P=

12+x2-(6-x)2

2×2 3 x

，
cos∠F₁F₂Q=

12+(6-2x)2-4x2

2×2 3 (6-2x)

，
由cos∠F₁F₂P+cos∠F₁F₂Q=0，
化簡得（x-2）（2x-3）=0，解得x=2或x=

3

2

，
當x=2時，|PF₁|=4，|PQ|=4，|FQ|=4，易得S_△PF1Q=4

3

；
當x=

3

2

時，|PF₁|=|PQ|=

9

2

，|F₁Q|=3，易得S_△PF1Q=

9 2

2

；

點評：此題主要考查橢圓的標準方程以及橢圓離心率的應用，第二問是一個存在性問題，我們可以假設存在P點使|PF₁|=|PQ|，求出P點的坐標進行求解，此題是一道中檔題；