Question

（2006•嘉定區二模）用S_m→n表示數列{a_n}從第m項到第n項（共n-m+1項）之和．
（1）在遞增數列{a_n}中，a_n與a_n+1是關于x的方程x²-4nx+4n²-1=0（n為正整數）的兩個根．求{a_n}的通項公式并證明{a_n}是等差數列；
（2）對（1）中的數列{a_n}，判斷數列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的類型；
（3）對（1）中的數列作進一步研究，提出與（2）類似的問題，你可以得到怎樣的結論，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0，結合{a_n}是遞增數列，可求出a_n與a_n+1．進而根據等差數列的定義，判斷出{a_n}是等差數列，進而得到數列的通項公式
（2）根據等差數列的前n項和公式，化簡S_3k-2→3k，進而根據等差數列的定義，判斷出數列{S_3k-2→3k}為等差數列
（3）根據（2）中結論，可得S_1→m，S_m+1→2m，…，S_{（k-1）m+1→km}的類型均為等差數列

解答：解：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0得x₁=2n-1，x₂=2n+1…（1分）
∵{a_n}是遞增數列，
∴a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，
a_n+1-a_n=2…（3分）
∴數列{a_n}是等差數列，
其通項公式是a_n=2n-1（n為正整數）…（4分）
（2）當k為正整數時，S_3k-2→3k=a_3k-2+a_3k-1+a_3k=18k-9S_{3（k+1）-2→3（k+1）}=18（k+1）-9=18k+9，
∴S_{3（k+1）-2→3（k+1）}-S_3k-2→3k=18（常數）
∴數列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k是等差數列…（9分）
（3）S_1→4，S_5→8，…，S_4k-3→4k也是等差數列，理由如下：
S_4k-3→4k=a_4k-3+a_4k-2+a_4k-1+a_4k=32k-16S_{4（k+1）-3→4（k+1）}=32（k+1）-16=32k+16，
∴S_{4（k+1）-3→4（k+1）}-S_4k-3→4k=32（常數）
∴數列S_1→4，S_5→8，…，S_4k-3→4k是等差數列

點評：本題考查的知識點是等差數列的判斷與性質，熟練掌握等差數列的證明方法是解答的關鍵．