Question

（本小題滿分12分）
已知，寫出用表示的關(guān)系等式，并證明這個關(guān)系等式．

Answer 1

解析試題分析：如圖，在平面直角坐標(biāo)系

xoy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角
，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別
為A，B．
則 ，．
由向量數(shù)量積的定義，有
．
由向量數(shù)量積的的坐標(biāo)表示，有

于是． ①------7分
對于任意的，總可選取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)k，使得=+或
=－+成立．
故對于任意的，總有成立，帶入①式得
對，總有
成立．------12分
另證：由于都是任意角，也是任意角．由誘導(dǎo)公式，總可以找到一個角．
當(dāng) 時，，則有
，帶入①既得
．
當(dāng)時，，就是的夾角，則有
，帶入①既得
．
綜上，對，總有
．------12分
考點(diǎn)：利用向量證明兩角差的余弦展開式
點(diǎn)評：向量在高中數(shù)學(xué)的多個板塊應(yīng)用廣泛，如向量解三角形求內(nèi)角，向量表示直線間的垂直平行關(guān)系，向量證明立體幾何中的線面的垂直平行關(guān)系及求異面直線所成角，線面角及二面角等