【題目】已知函數
，
.
（Ⅰ）若
滿足
，求實數
的值；
（Ⅱ）討論的極值點的個數；
（Ⅲ）若
（
）是的一個極值點，且
，證明：
.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）當
時，
無極值點；當
或
時，有
個極值點；（Ⅲ）見解析
【解析】
（Ⅰ）對
求導，由
構建方程，求得
的值；
（Ⅱ）對求導，利用分類討論思想討論在當
，，時的單調性，進而分析極值點的個數；
（Ⅲ）由
，可得，此時由（Ⅱ）可知其兩個極值為-2和
時，又
（
）是的一個極值點，則
，即可表示
，進而由換元法令
，構造新的函數利用導數證明此時的不等式即可.
（Ⅰ）
.
，所以.
（Ⅱ）
當
時，令
，解得
，
.
①當時，
，
當
變化時，
，的變化如下表
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|
|
|
|
| ↗ | 極大值點 | ↘ | 極小值點 | ↗ |
所以有2個極值點.
②當時，
，此時
恒成立且不恒為
在
上單調遞增，無極值點.
③當時，
，
當變化時，，的變化如下表
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
| ↗ | 極大值點 | ↘ | 極小值點 | ↗ |
所以有2個極值點.
綜上所述：當時，無極值點；當或時，有個極值點
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若
是的一個極值點，則
.
又
，即.
.
.
令，則
，
.
則
，令
，解得
或
.
當
在區間
上變化時，
，
的變化如下表
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|
|
|
|
|
|
| ↗ | 極大值點 | ↘ |
在
上單調遞增；在
上單調遞減
，即
.
特高級教師點撥系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,橢圓
：
的左、右焦點分別為
，橢圓上一點
與兩焦點構成的三角形的周長為6,離心率為
，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
的直線
交橢圓
于
兩點,問在
軸上是否存在定點,使得
為定值？證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為
和
的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為
，寬為內接正方形的邊長
．由劉徽構造的圖形還可以得到許多重要的結論，如圖3．設
為斜邊
的中點，作直角三角形
的內接正方形對角線
，過點
作
于點
，則下列推理正確的是（ ）
①由圖1和圖2面積相等得
；
②由
可得
；
③由
可得
；
④由
可得
．
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于數列
，若存在常數M，使得對任意
，
與
中至少有一個不小于M，則記作
，那么下列命題正確的是（ ）．
A.若，則數列各項均大于或等于M；
B.若，則
；
C.若，
，則
；
D.若，則
；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
在
處取得極值A，函數
，其中
…是自然對數的底數．
（1）求m的值，并判斷A是
的最大值還是最小值；
（2）求
的單調區間；
（3）證明：對于任意正整數n，不等式
成立．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，底面
是正方形，頂點
在底面的射影是底面的中心，且各頂點都在同一球面上，若該四棱錐的側棱長為
，體積為4，且四棱錐的高為整數，則此球的半徑等于（ ）（參考公式：
）
A. 2B. 
C. 4D. 
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