Question

設等差數列{a_n}的首項a₁及公差d都為整數，前n項和為S_n．
（Ⅰ）若a₁₁=0，S₁₄=98，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）本題是關于等差數列的基本量的運算，設出題目中的首項和公差，根據第十一項和前十四項的和兩個數據列出方程組，解出首項和公差的值，寫出數列的通項．
（Ⅱ）根據三個不等關系，寫出關于首項和公差的不等式組，解不等式組，得到一個范圍，根據{a_n}的首項a₁及公差d都為整數得到所有可能的結果，寫出通項公式．
解答：解：（Ⅰ）由S₁₄=98得2a₁+13d=14，
又a₁₁=a₁+10d=0，
∴解得d=-2，a₁=20．
∴{a_n}的通項公式是a_n=22-2n，
（Ⅱ）由
得
即
由①+②得-7d＜11．
即d＞-．
由①+③得13d≤-1
即d≤-
于是-＜d≤-
又d∈Z，故
d=-1  ④
將④代入①②得10＜a₁≤12．
又a₁∈Z，故a₁=11或a₁=12．
∴所有可能的數列{a_n}的通項公式是
a_n=12-n和a_n=13-n，
點評：本題考查數列的基本量，是一個綜合問題，題目中結合不等式和方程的解法，根據題目所給的關系，寫出關于數列的首項和公差的方程組，解方程組得到公差和首相，再寫出通項公式．