Question

已知x=-2與x=4是函數f（x）=-x³+ax²+bx的兩個極值點．
（1）求常數a、b的值；
（2）判斷函數x=-2，x=4處的值是函數的極大值還是極小值，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數f（x）進行求導，由題意知-2，4是方程f'（x）=0的兩實根，由韋達定理可求出a，b的值．
（2）將a，b的值代入導函數，然后根據導函數的符號及極值點的定義可確定是極大值還是極小值．
解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b．
由極值點的必要條件可知x=-2和x=4是方程f′（x）=0的兩根，
則-2+4=，-2×4=，解得a=3，b=24．
（2）由（1）知，f′（x）=-3x²+6x+24=-3（x+2）（x-4），
當x＜-2或x＞4時，f′（x）＜0；
當-2＜x＜4時，f′（x）＞0．
∴當x=-2時f（x）取得極小值，x=4時f（x）取得極大值．
點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．屬基礎題．