Question

設動點 到定點的距離比到軸的距離大．記點的軌跡為曲線C．

　（Ⅰ）求點的軌跡方程；

  （Ⅱ）設圓M過，且圓心M在P的軌跡上，是圓Ｍ 在軸的截得的弦，當Ｍ 運動時弦長是否為定值？說明理由；

  （Ⅲ）過作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S，求四邊形面的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）定值2；（3）

【解析】.本題考查了拋物線的定義，圓的方程，直線與曲線方程的聯立，四邊形面積的求法。第一問利用拋物線的定義直接寫出標準方程；第二問設出圓心坐標，寫出圓的標準方程，令求得弦長為定值；第三問直線與拋物線方程聯立，由韋達定理和拋物線的定義求出兩弦長，用直線的斜率表示四邊形面的面積，由不等式求得最小值。

解：(1)  由題意知，所求動點為以為焦點，直線為準線的拋物線，方程為；。。。。。。。。。。。。。。。。。（4分）

(2) 設圓心，半徑

 圓的方程為

令得  

即弦為長定值；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（8分）

(3)設過F的直線方程為 ,

 由得

 由列得 

 同理得

 四邊形的面積.（13分）.