Question

已知函數f（x）=

a

x

-x，且對任意的x∈（0，1），都有f（x）•f（1-x）≥1恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：化簡所求f（x）•f（1-x）≥1為

a2

x(1-x)

+x（1-x）-a（

x

1-x

+

1-x

x

）-1≥0，令x（1-x）=t（0＜t≤

1

4

），即有t²+（2a-1）t+a²-a≥0，令f（t）=t²+（2a-1）t+a²-a（0＜t≤

1

4

），討論對稱軸和區間的關系，列出不等式，解出它們，求并集即可．

解答： 解：由于函數f（x）=

a

x

-x，
f（x）•f（1-x）≥1即為（

a

x

-x）（

a

1-x

-1+x）≥1，
則

a2

x(1-x)

+x（1-x）-a（

x

1-x

+

1-x

x

）-1≥0，
令x（1-x）=t（0＜t≤

1

4

），
則上式即為

a2

t

+t-a•

1-2t

t

-1≥0，即有t²+（2a-1）t+a²-a≥0，
令f（t）=t²+（2a-1）t+a²-a（0＜t≤

1

4

），
對稱軸t=

1

2

-a，若a≥

1

2

，則區間（0，

1

4

]為增，則f（0）≥0，即有a²-a≥0，解得a≥1；
若

1

2

-a≥

1

4

即a≤

1

4

，則區間（0，

1

4

]為減，則f（

1

4

）≥0，即16a²-8a-3≥0，解得a≥

3

4

或a≤-

1

4

則有a≤-

1

4

；
若0＜

1

2

-a≤

1

4

，則有f（

1

2

-a）≥0，即有

-(2a-1)2+4(a2-a)

4

≥0，解得，a∈∅．
綜上可得，a≥1或a≤-

1

4

．
故答案為：a≥1或a≤-

1

4

．

點評：本題考查函數的性質和運用，考查二次函數在閉區間上的單調性和運用，考查分類討論的思想方法，以及恒成立問題的解決方法，屬于中檔題．