Question

設x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，a²+b=4，則

2

x

+

1

y

的最大值為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：由指對數轉化公式得到x=log_a2，y=log_b2，從而可化簡

2

x

+

1

y

，最后由基本不等式可得

2

x

+

1

y

的最大值．

解答：解：∵a^x=b^y=2，
∴x=log_a2，y=log_b2，
∴

2

x

+

1

y

=2log₂a+log₂b=log₂a²b，
∵a²+b=4，a＞1，b＞1，
∴a²+b=4≥2

a2b

則a²b≤4，當且僅當a=

2

，b=2時取等號，
∴

2

x

+

1

y

=log₂a²b≤log₂4=2，
即

2

x

+

1

y

的最大值為2．
故選：B．

點評：本題主要考查了對數的運算性質，對數的換底公式的應用，基本不等式的應用是求解最值的關鍵，屬于中檔題．