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(本小題共12分)
如圖,已知直線l與拋物線相切于點P(2,1),且與x軸交于點AO為坐標原點,
定點B的坐標為(2,0).

(1)若動點M滿足,求點M的軌跡C;
(2)若過點B的直線l′(斜率不等于零)與(I)中的軌跡C交于不同的兩點E、F(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

(I)動點M的軌跡C為以原點為中心,焦點在x軸上,長軸長為,短軸長為2的橢圓 (II)(3-2,1).

解析試題分析:(I)由,  ∴直線l的斜率為 
l的方程為,∴點A坐標為(1,0)
   則

整理,得 
∴動點M的軌跡C為以原點為中心,焦點在x軸上,長軸長為,短軸長為2的橢圓
(II)由題意知直線l的斜率存在且不為零,設l方程為y=k(x-2)(k≠0)①
將①代入,整理,得
由△>0得0<k2<.  設E(x1y1),F(x2y2)
 ②
,由此可得
由②知

.
∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是(3-2,1).
考點:本題考查了直線與拋物線的位置關系
點評:對于直線與圓錐曲線的綜合問題,往往要聯立方程,同時結合一元二次方程根與系數的關系進行求解;而對于最值問題,則可將該表達式用直線斜率k表示,然后根據題意將其進行化簡結合表達式的形式選取最值的計算方式.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為,右頂點為,設點.
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)若是橢圓上的動點,求線段中點的軌跡方程;
(3)過原點的直線交橢圓于點,求面積的最大值。

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,一條經過點且方向向量為的直線交橢圓兩點,交軸于點,且

(1)求直線的方程;
(2)求橢圓長軸長的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知橢圓的中心在坐標原點,兩個焦點分別為,點在橢圓 上,過點的直線與拋物線交于兩點,拋物線在點處的切線分別為,且交于點.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在滿足的點? 若存在,指出這樣的點有幾個(不必求出點的坐標); 若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,焦點到相應準線的距離為
(1)求橢圓C的方程
(2)設直線與橢圓C交于A、B兩點,坐標原點到直線的距離為,求面積的最大值。

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知橢圓(a>b>0)的離心率e=,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B,已知點A的坐標為(-,0).若,求直線l的傾斜角;

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知圓的圓心為原點,且與直線相切。

(1)求圓的方程;
(2)點在直線上,過點引圓的兩條切線,切點為,求證:直線恒過定點。

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知橢圓E:的焦點坐標為),點M()在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設Q(1,0),過Q點引直線與橢圓E交于兩點,求線段中點的軌跡方程;

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
如圖,拋物線的頂點為坐標原點,焦點軸上,準線與圓相切.

(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若點在拋物線上,且,求點的坐標.

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