Question

已知函數(shù)：f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R且x≠a)．
（1）證明：f（x）+2+f（2a-x）=0對定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">[a+

1

2

，a+1]時(shí)，求證：f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]；
（3）（理）設(shè)函數(shù)g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
（4）（文）設(shè)函數(shù)g（x）=x²+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)函數(shù)：f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R且x≠a)．直接代入化簡即可；
（2）化簡函數(shù)的f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

，根據(jù)定義域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">[a+

1

2

，a+1]，
可確定f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]；
（3）利用分類討論，將絕對值符號化去，再利用二次函數(shù)配方法求解，應(yīng)注意函數(shù)定義域與函數(shù)對稱軸之間的關(guān)系．

解答：解：（1）f(x)+2+f(2a-x)=

x+1-a

a-x

+2+

2a-x+1-a

a-2a+x

=

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0
∴結(jié)論成立
（2）f(x)=

-(a-x)+1

a-x

=-1+

1

a-x

當(dāng)a+

1

2

≤x≤a+1時(shí)，-a-1≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
∴-3≤-1+

1

a-x

≤-2        即f（x）值域?yàn)閇-3，-2]．
（3）（理）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
①當(dāng)x≥a-1且x≠a時(shí)，g(x)=x2+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a．
如果a-1≥-

1

2

即a≥

1

2

時(shí)，則函數(shù)在[a-1，a）和（a，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²
如果a-1＜-

1

2

即當(dāng)a＜

1

2

且a≠-

1

2

時(shí)，g(x)min=g(-

1

2

)=

3

4

-a．當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，g（x）最小值不存在．
②當(dāng)x≤a-1時(shí)g(x)=x2-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

，
如果a-1＞

1

2

即a＞

3

2

時(shí)g(x)min=g(

1

2

)=a-

5

4

．
如果a-1≤

1

2

即a≤

3

2

時(shí)，g(x)在(-∞，a-1)上為減函數(shù)g(x)min=g(a-1)=(a-1)2．
當(dāng)a＞

3

2

時(shí)，(a-1)2-(a-

5

4

)=(a-

3

2

)2＞0.當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，(a-1)2-(

3

4

-a)=(a-

1

2

)2＞0．
綜合得：當(dāng)a＜

1

2

且a≠-

1

2

時(shí)，g（x）最小值是

3

4

-a；當(dāng)

1

2

≤a≤

3

2

時(shí)，g（x）最小值是（a-1）²；當(dāng)a＞

3

2

時(shí)，g（x）最小值為a-

5

4

；當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，g（x）最小值不存在．
（文）同②

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的值域，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的難度．