Question

已知函數f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，求正實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=1，k∈R且k＜

1

e

，設F（x）=f（x）+（k-1）lnx，求函數F（x）在[

1

e

，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)，利用函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，可得x∈[1，+∞）時，不等式f′(x)=

ax-1

ax2

≥0，即a≥

1

x

恒成立，求出右邊函數的最大值，即可求得實數a的取值范圍；
（Ⅱ）a=1時，F′(x)=

(1-x)′x-(1-x)x′

x2

+

k

x

=

kx-1

x2

，分類討論：（1）若k=0，F（x）在[

1

e

，e]上單調遞減；（2）k≠0時，F′(x)=

kx-1

x2

=

k(x- 1 k )

x2

，確定函數的單調性，即可求得函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）由題設可得f′(x)=

ax-1

ax2

(a＞0)
因為函數f（x）在[1，+∞）上是增函數，所以當x∈[1，+∞）時，不等式f′(x)=

ax-1

ax2

≥0，即a≥

1

x

恒成立
因為當x∈[1，+∞）時，

1

x

的最大值為1，所以實數a的取值范圍是[1，+∞）-----（4分）
（Ⅱ）a=1時，f(x)=

1-x

x

+lnx，F(x)=

1-x

x

+lnx+(k-1)lnx=

1-x

x

+klnx
所以，F′(x)=

(1-x)′x-(1-x)x′

x2

+

k

x

=

kx-1

x2

…（6分）
（1）若k=0，則F′(x)=

-1

x2

，在[

1

e

，e]上，恒有F'（x）＜0，所以F（x）在[

1

e

，e]上單調遞減
∴F(x)min=F(e)=

1-e

e

，F(x)max=F(

1

e

)=e-1…（7分）
（2）k≠0時，F′(x)=

kx-1

x2

=

k(x- 1 k )

x2

（i）若k＜0，在[

1

e

，e]上，恒有

k(x- 1 k )

x2

＜0，所以F（x）在[

1

e

，e]上單調遞減
∴F(x)min=F(e)=

1-e

e

+klne=

1-e

e

+k=

1

e

+k-1，F(x)max=F(

1

e

)=e-k-1…（9分）
（ii）k＞0時，因為k＜

1

e

，所以

1

k

＞e(x-

1

k

)＜0，所以

k(x- 1 k )

x2

＜0，所以F（x）在[

1

e

，e]上單調遞減
∴F(x)min=F(e)=

1-e

e

+klne=

1-e

e

+k=

1

e

+k-1，F(x)max=F(

1

e

)=e-k-1…（11分）
綜上所述：當k=0時，F(x)min=

1-e

e

，F（x）_max=e-1；當k≠0且k＜

1

e

時，F（x）_max=e-k-1，F(x)min=

1

e

+k-1．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，正確求導，恰當分類是關鍵．