Question

已知函數f(x)=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+

π

12

)．
（1）設x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x₀）的值；
（2）求使函數h(x)=f(

ωx

2

)+g(

ωx

2

)（ω＞0）在區間[-

2π

3

，

π

3

]上是增函數的ω的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得2x0=kπ+

π

2

，(k∈Z)，代入g（x）可得g(x0)=

1

2

[1+cos(2x0+

π

6

)]=

1

2

[1+cos(kπ+

2

3

π)]，利用誘導公式可求
（2）由h(x)=(1+

1

2

sinωx)+

1

2

[1+cos(ωx+

π

6

)]=

1

2

sin（ωx+

1

3

π）+

3

2

，由題意可得 [-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，可求

解答：解：（1）由題設知f(x)=1+

1

2

sin2x，因為x=x0是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，
所以2x0=kπ+

π

2

，(k∈Z)---------（2分）
g(x0)=

1

2

[1+cos(2x0+

π

6

)]=

1

2

[1+cos(kπ+

2

3

π)]
當k為偶數時，g(x0)=

1

2

(1+cos

2

3

π)=

1

4

；
當k為奇數時，g(x0)=

1

2

(1+cos

π

3

)=

3

4

------------------------------（6分）
（2）因為h(x)=(1+

1

2

sinωx)+

1

2

[1+cos(ωx+

π

6

)]
=

1

2

(sinωx+

3

2

cosωx-

1

2

sinωx)+

3

2

=

1

2

sin(ωx+

π

3

)+

3

2

-------------（8分）
當x∈[-

2π

3

，

π

3

]時，ωx+

π

3

∈[-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]，
因為h(x)在[-

2π

3

，

π

3

]上是增函數，且ω＞0，
所以 [-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，
即

- 2ωπ 3 + π 3 ≥- π 2 ωπ 3 + π 3 ≤ π 2

解得ω≤

1

2

所以ω的最大值為

1

2

-------------（12分）

點評：本題主要考查了二倍角公式及輔助角公式在三角函數化簡 中的應用，正弦函數的對稱性及單調性的應用，本題具有一定的綜合性