Sn=2an+(-1)n,n≥1.
(Ⅰ)寫出數列{an}的前3項a1,a2,a3;
(Ⅱ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:對任意的整數m>4,有+
+…+
<
.
22.本小題主要考查數列的通項公式,等比數列的前n項和以及不等式的證明.考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力.
(Ⅰ)解:由a1=S1=2a1-1,得a1=1.
由a1+a2=S2=2a2+(-1)2,得a2=0.
由a1+a2+a3=S3=2a3+(-1)3,得a3=2.
(Ⅱ)解:當n≥2時,有
an=Sn-Sn-1=2(an-an-1)+2×(-1)n,
an=2an-1+2×(-1)n-1,
an-1=2an-2+2×(-1)n-2,
……
a2=2a1-2.
所以an=a1+
×(-1)+
×(-1)2+…+2×(-1)n-1
=2n-1+(-1)n[+
+…+(-2)]
=-(-1)n
=[2n-2+(-1)n-1].
經驗證a1也滿足上式,所以an=[2n-2+(-1)n-1],n≥1.
(Ⅲ)證明:由通項公式得a4=2.
當n≥3且n為奇數時,+
=
[
]
=×
<
×
=(
+
).
當m>4且m為偶數時,+
+…+
=+(
+
)+…+(
+
)
<+
(
+
+…+
)
=+
×
×(1-
)
<+
=
.
當m>4且m為奇數時,
+
+…+
<
+
+…+
+
<
.
所以對任意整數m>4,有
+
+…+
<
.
科目:高中數學 來源: 題型:
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