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22.已知數列{an}的前n項和Sn滿足

Sn=2an+(-1)n,n≥1.

(Ⅰ)寫出數列{an}的前3項a1,a2,a3;

(Ⅱ)求數列{an}的通項公式;

(Ⅲ)證明:對任意的整數m>4,有++…+.

22.本小題主要考查數列的通項公式,等比數列的前n項和以及不等式的證明.考查靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力.

(Ⅰ)解:由a1=S1=2a1-1,得a1=1.

a1+a2=S2=2a2+(-1)2,得a2=0.

a1+a2+a3=S3=2a3+(-1)3,得a3=2.

(Ⅱ)解:當n≥2時,有

an=SnSn1=2(anan1)+2×(-1)n,

an=2an1+2×(-1)n1,

an1=2an2+2×(-1)n2,

……

a2=2a1-2.

所以an=a1+×(-1)+×(-1)2+…+2×(-1)n1

=2n1+(-1)n++…+(-2)]

=-(-1)n

=[2n2+(-1)n1].

經驗證a1也滿足上式,所以an=[2n2+(-1)n1],n≥1.

(Ⅲ)證明:由通項公式得a4=2.

n≥3且n為奇數時,+=

=××

=+).

m>4且m為偶數時,++…+

=+(+)+…+(+

<+++…+

=+××(1-

<+=.

m>4且m為奇數時,

++…+<++…++<.

所以對任意整數m>4,有

++…+<.

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