Question

20．已知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，求：
（1）以P（2，-1）為中點的弦所在直線的方程；
（2）斜率為2的平行弦中點的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設弦的端點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，相減化簡再利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．
（2）設直線方程為：y=2x+m，弦的端點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點M（x，y）．與橢圓方程聯立化為：17x²+16mx+4m²-16=0，由△＞0，化為：m²＜68．再利用根與系數的關系、中點坐標公式即可得出．

解答 解：（1）設弦的端點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{16}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，
相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
把$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$代入可得：k=$\frac{1}{2}$．
∴以P（2，-1）為中點的弦所在直線的方程為：y+1=$\frac{1}{2}$（x+2），化為：x-2y=0．
（2）設直線方程為：y=2x+m，弦的端點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點M（x，y）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化為：17x²+16mx+4m²-16=0，
△=256m²-68（4m²-16）＞0，化為：m²＜68．
∴x₁+x₂=-$\frac{16m}{27}$=2x，化為：x=$-\frac{8m}{17}$．
y=2×$（-\frac{8m}{17}）$+m=$\frac{m}{17}$．
∴y=-$\frac{1}{8}$x$（-\frac{8\sqrt{68}}{17}＜x＜\frac{8\sqrt{68}}{17}）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．