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21. 如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續下去.記圓On的面積為an（n∈N）.

（1）證明{an}是等比數列；

 

（2）求（a1+a2+…+an）的值.

21. （Ⅰ）證明：記rn為圓On的半徑，則 r1＝tan30°＝l,

＝sin30°＝.

 

所以rn＝rn－1（n≥2）,

于是a1＝πr12＝=,

 

故{an}成等比數列.

 

（Ⅱ）解：因為an＝（）n－1a1（n∈N）,

 

所以（a1+a2+…+an）＝.


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續下去．記圓On的面積為an（n∈N）．
（Ⅰ）證明{an}是等比數列；
（Ⅱ）求
limn→∞
（a1+a2+…+an）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（03年北京卷）（13分）

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續下去. 記圓On的面積為.

   （Ⅰ）證明是等比數列；

   （Ⅱ）求的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

22.如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續下去.記圓On的面積為an（n∈N）.

（Ⅰ）證明{an}是等比數列；

（Ⅱ）求 （a1+a2+…+an）的值.

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科目：高中數學 來源：2006年高考第一輪復習數學：14.6 函數的連續性及極限的應用（解析版） 題型：解答題

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續下去．記圓On的面積為an（n∈N）．
（Ⅰ）證明{an}是等比數列；
（Ⅱ）求（a1+a2+…+an）的值．

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同步練習冊答案
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