Question

如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O₁為△ABC的內切圓，圓O₂與圓O₁外切，且與AB，BC相切，…，圓O_n+1與圓O_n外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續下去．記圓O_n的面積為a_n（n∈N）．
（Ⅰ）證明{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記r_n為圓O_n的半徑，
則r1=

l

2

tan30°=

3

6

l，rn=

1

3

rn-1(n≥2)，
于是

an

an-1

=(

rn

rn-1

)2=

1

9

，
由此可知{a_n}成等比數列．
（Ⅱ）由an=(

1

9

)n-1a1(n∈N)，能夠導出

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）的值．

解答：（Ⅰ）證明：記r_n為圓O_n的半徑，
則r1=

l

2

tan30°=

3

6

l，

rn-1-rn

rn-1+rn

=sin30°=

1

2

．
所以rn=

1

3

rn-1(n≥2)，
于是a1=π

r

1 2

=

πl2

12

，

an

an-1

=(

rn

rn-1

)2=

1

9

故{a_n}成等比數列．
（Ⅱ）解：因為an=(

1

9

)n-1a1(n∈N)，
所以

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

a1

1- 1 9

=

3πl2

32

．

點評：本題主要考查數列、數列極限、三角函數等基本知識，解題時要注意提高邏輯思維能力．