Question

22.如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O₁為△ABC的內(nèi)切圓，圓O₂與圓O₁外切，且與AB，BC相切，…，圓O_n+1與圓O_n外切，且與AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓O_n的面積為a_n（n∈N）.

（Ⅰ）證明{a_n}是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求 （a₁+a₂+…+a_n）的值.

Answer 1

22.（Ⅰ）證明：記r_n為圓O_n的半徑，則r₁=tan30°=l，

=sin30°=.

所以r_n=r_n－1（n≥2），

于是a₁=πr₁²=，，

故{a_n}成等比數(shù)列.

 

（Ⅱ）解：因?yàn)?I>a_n=（）^n－1a₁（n∈N），

所以 （a₁+a₂+…+a_n）==.