Question

在圓心為O、半徑為常數R的半圓板內畫內接矩形（如圖），當矩形的長和寬各取多少時，矩形的面積最大？求出這個最大面積．

Answer 1

【答案】分析：如圖用圓的半徑R與圖中所示的角（可設出）表示出來，把此矩形的面積表示出來，再用三角函數的相關的公式化簡，最后用三角函數的有界性判斷最大值在什么情況下取到，求出矩形的最大面積以及矩形的長與寬的大小．
解答：解：設矩形在半圓板直徑上的一邊長為2x，α角如圖所示，
則x=Rcosα，另一邊的長為Rsinα，矩形面積S為
S=2R²sinαcosα．
=R²sin2α
當2α=即α=時，也即長為，
寬為時，矩形面積最大
最大面積是R²
點評：本題考查用三角函數解決實際問題的最值，這是三角函數的一個重要的運用，請仔細體會本題中函數關系的建立過程．