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在圓心為O、半徑為常數R的半圓板內畫內接矩形（如圖），當矩形的長和寬各取多少時，矩形的面積最大？求出這個最大面積．

解：設矩形在半圓板直徑上的一邊長為2x，α角如圖所示，
則x=Rcosα，另一邊的長為Rsinα，矩形面積S為
S=2R²sinαcosα．
=R²sin2α
當2α= $\text{[math]}$ 即α= $\text{[math]}$ 時，也即長為 $\text{[math]}$ ，
寬為 $\text{[math]}$ 時，矩形面積最大
最大面積是R²
分析：如圖用圓的半徑R與圖中所示的角（可設出）表示出來，把此矩形的面積表示出來，再用三角函數的相關的公式化簡，最后用三角函數的有界性判斷最大值在什么情況下取到，求出矩形的最大面積以及矩形的長與寬的大小．
點評：本題考查用三角函數解決實際問題的最值，這是三角函數的一個重要的運用，請仔細體會本題中函數關系的建立過程．

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（1）設∠COD=θ（單位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面積S_弓=f（θ）；
（2）園林公司應該怎樣規劃這塊土地，才能使總利潤最大？并求相對應的θ．
（參考公式：扇形面積公式S=

R2θ=

Rl，l表示扇形的弧長）

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如圖，某城市設立以城中心O為圓心、r公里為半徑的圓形保護區，從保護區邊緣起，在城中心O正東方向上有一條高速公路PB、西南方向上有一條一級公路QC，現要在保護區邊緣PQ弧上選擇一點A作為出口，建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC．已知通往一級公路的道路AC每公里造價為a萬元，通往高速公路的道路AB每公里造價是m²a萬元，其中a，r，m為常數，設∠POA=θ，總造價為y萬元．
（1）把y表示成θ的函數y=f（θ），并求出定義域；
（2）當m=

時，如何確定A點的位置才能使得總造價最低？

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在圓心為O、半徑為常數R的半圓板內畫內接矩形（如圖），當矩形的長和寬各取多少時，矩形的面積最大？求出這個最大面積．