Question

某園林公司計劃在一塊以O為圓心，R（R為常數，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形CMDC區域用于觀賞樣板地，△OCD區域用于種植花木出售，其余區域用于種植草皮出售．已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元．
（1）設∠COD=θ（單位：弧度），用θ表示弓形CMDC的面積S_弓=f（θ）；
（2）園林公司應該怎樣規劃這塊土地，才能使總利潤最大？并求相對應的θ．
（參考公式：扇形面積公式S=

1

2

R2θ=

1

2

Rl，l表示扇形的弧長）

Answer 1

分析：（1）設∠COD=θ（單位：弧度），利用扇形面積減去三角形的面積，即可求出弓形CMDC的面積S_弓=f（θ）；
（2）設總利潤為y元，草皮利潤為y₁元，花木地利潤為y₂，觀賞樣板地成本為y₃，求出y的表達式，利用導數確定函數的最大值，得到結果．

解答：解：（1）S扇=

1

2

R2θ，S△OCD=

1

2

R2sinθ，S弓=f(θ)=

1

2

R2(θ-sinθ)．
（2）設總利潤為y元，草皮利潤為y₁元，花木地利潤為y₂，觀賞樣板地成本為y₃y1=3(

1

2

πR2-

1

2

R2θ)，y2=

1

2

R2sinθ•8，y3=

1

2

R2(θ-sinθ)•2，
∴y=y1+y2-y3=3(

1

2

πR2-

1

2

R2θ)+

1

2

R2sinθ•8-

1

2

R2(θ-sinθ)•2．=

1

2

R2[3π-(5θ-10sinθ)]
設g（θ）=5θ-10sinθθ∈（0，π）．g′（θ）=5-10cosθg′(θ)＜0，cosθ＞

1

2

，g(θ)在θ∈(0，

π

3

)上為減函數；g′(θ)＞0，cosθ＜

1

2

，g(θ)在θ∈(

π

3

，π)上為增函數．
當θ=

π

3

時，g（θ）取到最小值，此時總利潤最大．
答：所以當園林公司把扇形的圓心角設計成

π

3

時，總利潤最大．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的應用題中的應用，三角函數的化簡求值，導數的應用，考查計算能力，轉化思想的應用．