Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn+an=4，n∈N*
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）已知cn=2n+3（n∈N*），記dn=cn+logCan（C＞0，C≠1），是否存在這樣的常數C，使得數列{dn}是常數列，若存在，求出C的值；若不存在，請說明理由．
（3）若數列{bn}，對于任意的正整數n，均有 成立，求證：數列{bn}是等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn+an=4，n∈N*．∴當n≥2時，Sn﹣1+an﹣1=4，

∴an+an﹣an﹣1=0，即an= an﹣1．

當n=1時，2a1=4，解得a1=2．

∴數列{an}是等比數列，an=2（ ）n﹣1=22﹣n

（2）解：dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，

假設存在這樣的常數C，使得數列{dn}是常數列，

則2﹣logC2=0，解得C= ．

∴存在這樣的常數C= ，使得數列{dn}是常數列，dn=3+2 =7

（3）解：證明：∵對于任意的正整數n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），

∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=（ ）n+1﹣ ．①

（*）兩邊同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2=（ ）n+1﹣ ．②．

①﹣②可得bn+1a1= ﹣ = ，

∴bn+1= ，

∴bn= ，（n≥3）．

又2b1= ﹣ ，解得b1=﹣ ．

b1a2+b2a1= ﹣ ，

∴﹣ ×1+b2×2=﹣ ，解得b2=﹣ ．

當n=1，2時，bn= ，也適合．

∴bn= ，（n∈N*）是等差數列

【解析】（1）利用“當n=1時，a1=S1；當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出；（2）dn=cn+logCan=2n+3+logC22﹣n=（2﹣logC2）n+3+2logC2，假設存在這樣的常數C，使得數列{dn}是常數列，則2﹣logC2=0，解得C即可；（3）由于對于任意的正整數n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（ ）n﹣ 成立（*），b1an+1+b2an+…+bna2+bn+1a1=（ ）n+1﹣ ．（*）兩邊同乘以 可得：b1an+1+b2an+…+bna2=（ ）n+1﹣ ．兩式相減可得可得bn+1= ，即bn= ，（n≥3）．n=1，2也成立，即可證明．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．