Question

在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，D，E分別為AC，AB邊上的點，且DE∥BC，沿DE將△ADE折起（記為△A₁DE），使二面角A₁-DE-B為直二面角．
（1）當E點在何處時，A₁B的長度最小，并求出最小值；
（2）當A₁B的長度最小時，求二面角A₁-BE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知，，∠CDA₁為二面角A₁-DE-B的平面角，∠CDA₁=90°，設CD=x，表示出A₁B，建立函數關系，求函數的最值即可．
（2）過D 作DH⊥AE于H，則可得∠A₁HD是二面角A₁-BE-C的平面角，在直角△A₁HD中求解．

解答：解：（1）∵DE∥BC，∴CD⊥DE，A₁D⊥DE，∴∠CDA₁為二面角A₁-DE-B的平面角，，∴∠CDA₁=90°
設CD=x，AD=4-x，則A₁B²=BC²+CD²+DA₁²=2x²-8x+25=2（x-2）²+17
當x=2時，即D為CA中點，此時EBA為中點時，AB有最小值

17

（2）過D 作DH⊥AE于H，∵A₁D⊥ABC  連接A₁H∴A₁H⊥AE
∴∠A₁HD是二面角A₁-BE-C的平面角
tan∠A₁HD=

A1D

DH

=

2

6 5

=

5

3

，∴∠A₁HD=arctan

5

3

．
二面角A₁-BE-C的大小為arctan

5

3

．

點評：本題考查二面角的定義、計算，空間距離的計算，二次函數的性質，以及建模解模的數學能力．