Question

在空間直角坐標系O-xyz中，方程

x2

a2

+

y2

b2

+

z2

c2

=1(a＞b＞c＞0)表示中心在原點、其軸與坐標軸重合的某橢球面的標準方程．2a，2b，2c分別叫做橢球面的長軸長，中軸長，短軸長．類比在平面直角坐標系中橢圓標準方程的求法，在空間直角坐標系O-xyz中，若橢球面的中心在原點、其軸與坐標軸重合，平面xOy截橢球面所得橢圓的方程為

x2

9

+

y2

16

=1，且過點M(1，2，

23

)，則此橢球面的標準方程為

x2

9

+

y2

16

+

z2

36

=1

．

Answer 1

分析：類比求曲線方程的方法，我們可以用坐標法，求空間坐標系中橢球面的方程．只須求出橢球面的長軸長，中軸長，短軸長，類比在平面直角坐標系中橢圓標準方程的求法，易得橢球面的方程．

解答：解：根據中心在原點、其軸與坐標軸重合的某橢球面的標準方程的定義，設此橢球面的標準方程為

x2

9

+

y2

16

+

z2

c2

=1，
∵且過點M(1，2，

23

)，
將它的坐標代入橢球面的標準方程

x2

9

+

y2

16

+

z2

c2

=1，得

12

9

+

22

16

+

( 23 )2

c2

=1，∴c²=36，
故答案為：

x2

9

+

y2

16

+

z2

36

=1

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．由于空間直角坐標系中橢球面標準方程與平面直角坐標系中橢圓標準方程相似，故我們可以利用求平面曲線方程的辦法求解．