Question

已知函數
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)求的單調區間；
(3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

(1)(2)詳見解析(3)

試題分析：
(1)已知函數的解析式,把切點的橫坐標帶入函數即可求出切點的縱坐標,對求導得到函數的導函數,把帶入導函數即可求的切線的斜率,利用點斜式即可得到切線的方程.
(2)對函數進行求導和求定義域,導函數喊參數,把分為兩種情況進行討論,首先時,結合的定義域即可得到導函數在定義域內恒大于0,進而得到原函數在定義域內單調遞增,當時,求解導函數大于0和小于0的解集,得到原函數的單調遞增和單調遞減區間.
(3)該問題為存在性問題與恒成立問題的結合,即要求,而的最大值可以利用二次函數的圖像得到函數在區間上的最值,函數的最大值可以利用第二問的單調性求的,當時,函數單調遞增,無最大值,故不符合題意,當時,函數在處前的最大值,帶入不等式即可求的的取值范圍.
試題解析：
(1)由已知，          1分
，所以斜率，          2分
又切點，所以切線方程為)，即
故曲線在處切線的切線方程為。      3分
(2)      4分
①當時，由于，故，，所以的單調遞增區間為.
5分
②當時，由，得.        6分
在區間上，，在區間上，，
所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.    7分
（3）由已知，轉化為.      8分
，所以      9分
由(2)知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)      10分
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故的極大值即為最大值，，   12分
所以，解得.    14分