Question

（2009•河東區二模）在△ABC中，若

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2，則△ABC的面積的最大值為

3

．

Answer 1

分析：設A、B、C所對邊分別為a，b，c，由

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2，得bccosA=a=2①，由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=4②，聯立①②可得b²+c²=8，由不等式可得bc≤4，而S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc

1-cos2A

=

1

2

bc

1- 4 b2c2

=

1

2

b2c2-4

，由此可求其最大值．

解答：解：設A、B、C所對邊分別為a，b，c，
由

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2，得bccosA=a=2①，
S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc

1-cos2A

=

1

2

bc

1- 4 b2c2

=

1

2

b2c2-4

，
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=4②，
由①②消掉cosA得b²+c²=8，所以b²+c²≥2bc，bc≤4，當且僅當b=c=2時取等號，
所以S_△ABC=

1

2

b2c2-4

≤

1

2

16-4

=

3

，
故△ABC的面積的最大值為

3

，
故答案為：

3

．

點評：本題考查平面向量數量積的運算、三角形面積公式不等式求最值等知識，綜合性較強，有一定難度．