Question

已知函數，其中a為大于零的常數．
（Ⅰ）若a=1，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）求證：對于任意的n∈N^*，n＞1時，都有lnn＞成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；
（2）研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最小值．
（3）由（Ⅰ）知函數在[1，+∞）上為增函數，構造n與n-1的遞推關系，可利用疊加法求出所需結論．
解答：解：． （2分）
（Ⅰ）當a=1時，．
當x＞1時，f′（x）＞0；當0＜x＜1時，f′（x）＜0．
∴f（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）．（4分）
（Ⅱ）當a≥1時，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為增函數∴f（x）_min=f（1）=0．
當，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，
這時f（x）在[1，2]上為減函數∴．
當時，令f′（x）=0，得．
又∵對于有f′（x）＜0，
對于有f′（x）＞0，
∴，（6分）
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為
①當時，；
②當時，
③當a≥1時，f（x）_min=0；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函數在[1，+∞）上為增函數，
當n＞1時，∵，∴，
即，對于n∈N^*且n＞1恒成立．（10分）
lnn=[lnn-ln（n-1）]+[ln（n-1）-ln（n-2）]++[ln3-ln2]+[ln2-ln1]，
∴對于n∈N^*，且n＞1時，恒成立．（12分）
點評：本題是函數的綜合題，綜合考查了利用導數求函數的單調區間，求函數的最值，以及證明不等式，有一定的難度，是一道很好的壓軸題．