Question

【題目】為調查某校學生每周體育鍛煉落實的情況，采用分層抽樣的方法，收集100位學生每周平均鍛煉時間的樣本數據(單位:).根據這100個樣本數據，制作出學生每周平均鍛煉時間的頻率分布直方圖(如圖所示).

（Ⅰ）估計這100名學生每周平均鍛煉時間的平均數和樣本方差(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，該校學生每周平均鍛煉時間近似服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差.

（i）求；

（ii）若該校共有5000名學生，記每周平均鍛煉時間在區間的人數為，試求.

附：，若~，，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平均數5.85；樣本方差6.16；（Ⅱ）（i）；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）利用頻率分布直方圖的小矩形的中間數據，代入平均數和樣本方差公式即可得解；

（Ⅱ）利用正態分布的圖像與性質以及二項分布的期望，即可得解.

（Ⅰ）這100名學生每周平均鍛煉時間的平均數為

.

.

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，

即，

從而

（ii）由（i）可知，，

故.