Question

【題目】若無窮數列滿足：只要,必有,則稱具有性質.

（1）若具有性質,且,求；

（2）若無窮數列是等差數列,無窮數列是等比數列,,,.判斷是否具有性質,并說明理由；

（3）設是無窮數列,已知.求證：“對任意都具有性質”的充要條件為“是常數列”.

Answer 1

【答案】（1）（2）不具有性質,詳見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）根據具有性質,且,可得,又因為,,,則,代入數據即可得結果.

（2）,得出的公差和的公比,即可設和的通項公式,得出.因為,則,,得出,所以不具有性質.

（3）先證充分性：當為常數列時,.對任意給定的,只要,則由,必有.充分性得證.

再證必要性：用反證法證明.假設不是常數列,則存在,使得,而.證明存在滿足的,使得,但.設,取,使得,再根據條件類推,得出不具有性質,矛盾.必要性得證即可得出結論.

解：（1）因為,所以,,,.

所以,又因為,解得

（2）的公差為,所以,

的公比為,所以

所以.

所以,,,因為,

所以不具有性質.

（3）證明充分性：

當為常數列時,.

對任意給定的,只要,則由,必有.

充分性得證.

證明必要性：用反證法證明.假設不是常數列,則存在,

使得,而.

下面證明存在滿足的,使得,但.

設,取,使得,則

,,故存在使得.

取,因為（）,所以,

依此類推,得.

但,即.

所以不具有性質,矛盾.必要性得證.

綜上,“對任意,都具有性質”的充要條件為“是常數列”