Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若的最大值為，求的值；

（2）若存在實(shí)數(shù)且，使得，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)的正負(fù)性進(jìn)行分類討論求出函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)題意求出的值；

（2）根據(jù)題意和（1）可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可以確定介于之間，不妨設(shè)，這樣根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和絕對值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

（1），若，則，所以在上單調(diào)遞增，無最值，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的最大值，解得，符合題意．

綜上，．

（2）若，則由（1）知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．若存在實(shí)數(shù)，使得，則介于之間，不妨設(shè)，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，由，可得，故，又在上遞增，且，

所以，所以，

同理．所以，解得，不等式得證．