Question

用定義法證明函數f(x)=

x2+1

-x在定義域內是減函數．

Answer 1

分析：直接利用函數單調性的定義進行證明，設在R上任取兩個數x₁，x₂，且x₁＞x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，從而得到結論．

解答：解：設在R上任取兩個數x₁，x₂，且x₁＞x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=

x 2 1 +1

-x₁-（

x 2 2 +1

-x₂）
=

x 2 1 +1

-

x 2 2 +1

+（x₂-x₁）
=

(x1-x2)(x1+x2)

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

+（x₂-x₁）
=（x₁-x₂）（

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-1）
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0，

x1+x2

x 2 1 +1 + x 2 2 +1

-1＜0
則f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函數f(x)=

x2+1

-x在定義域內是減函數．

點評：本題主要考查了函數單調性的證明，解題的關鍵是化簡判定符號，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．