Question

（1）用定義法證明函數f（x）=在x∈[2，+∞）上是增函數；
（2）求在[4，8]上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）可分五步進行：①取值；②作差；③變形；④判號；⑤結論．
（2）g（x）=2f（x），由（1）知f（x）在[4，8]上單調遞增，可求其值域，從而可得g（x）的值域．
解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（）-（x₂+）=，
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，∴x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在x∈[2，+∞）上是增函數．
（2）由（1）知：f（x）在[4，8]上是增函數．
∴，f（x）_min=f（4）=5，
∵g（x）=2f（x），
∴g（x）的值域為[10，17]．
點評：本題考查函數的單調性及其應用，定義法證明單調性的一般步驟：①取值；②作差；③變形；④判號；⑤結論．本題（2）問注意利用g（x）與f（x）的關系求解．