Question

定義在R上的函數f（x），對?x∈R，滿足f（1-x）=f（1+x），f（-x）=-f（x），且f（x）在[0，1]上是增函數．下列結論正確的是

①②④

．（把所有正確結論的序號都填上）
①f（0）=0；
②f（x+2）=f（-x）；
③f（x）在[-6，-4]上是增函數；
④f（x）在x=-1處取得最小值．

Answer 1

分析：通過已知條件判斷函數的對稱性，奇偶性，然后判斷選項的正誤即可．

解答：解：因為定義在R上的函數f（x），對?x∈R，函數滿足f（-x）=-f（x），所以函數是奇函數，定義域是R，所以f（0）=0；①正確；
又函數滿足f（1-x）=f（1+x），
所以函數關于x=1對稱，可得f（x+2）=f（-x）；②正確；
f（x+2）=f（-x）；f（-x）=-f（x），可得f（x+4）=f（x），函數的周期是4，
f（x）在[-6，-4]上是增函數，③不正確；
f（x）在[0，1]上是增函數．函數又是奇函數，函數關于x=1對稱[1，2]是減函數；
所以函數在[-1，0]也是增函數，[-2，-1]上是減函數，所以函數在x=-1球的最小值，④正確；
正確結果是：①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查抽象函數的應用，函數的單調性與函數的奇偶性，對稱性的綜合應用，考查計算能力，邏輯推理能力．