Question

設函數，已知f（x）在x=1處有極值．
（1）求實數a的值；
（2）當（其中e是自然對數的底數）時，證明：e^{（e-x）（e+x-6）+4}≥x⁴；
（3）證明：對任意的n＞1，n∈N*，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意函數，已知f（x）在x=1處有極值，所以f^′（1）=0，進而建立a的方程，解出即可；
（2）由題意對函數求導，求出函數的單調區間及函數的單調性，即可證明；
（3）有（2）可知函數在定義域上的最大值，利用累加法即可得證．
解答：解：（1）由題意函數，已知f（x）在x=1處有極值，
所以f^′（1）=0∴1+a+2=0解得：a=-3．
（2）∵，（x＞0）
∴，
由，
，
∵∴函數f（x）的單調遞增區間為（．（2，e），單調的減區間為（1，2），
∴=，又f（e）=，
f（e）-f（1）=
∴e²-3e+2
∴
即：e²-6e+4≥x²-6x+4lnx
即：e²-x²+6x-6e+4≥4lnx⇒（e-x）（e+x-6）+4≥4lnx
∴
∴e^{（e-x）（e+x-6）+4}≥x⁴；
（3）∵，函數f（x）的單調遞減區間為（1，2），單調遞增區間為（2，e），
∴當x∈（1，+∞）時，函數f（x）在x=2處取得最小值2ln2-4，
∴

∴，
∵
   
…
   
由于以上各式并不都能取等號，所以把以上各式相加，變形得：
   
    =
∴．
點評：此題考查了函數極值的定義，還考查了利用導函數判斷函數在定義域上的單調性及最值，還有利用累加法證明與n有關的命題．