Question

設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別為D_f，D_g，且Df

?

≠

Dg，若?x∈D_f，g（x）=f（x），則函數(shù)g（x）為f（x）在D_g上的一個延拓函數(shù)．已知f（x）=2^x（x＜0），g（x）是f（x）在R上的一個延拓函數(shù)，且g（x）是奇函數(shù)，則g（x）=

 

．

Answer 1

分析：由拖延函數(shù)的定義得x＜0時，g（x）=f（x），x＞0時求出g（-x）的解析式，再利用奇函數(shù)的定義，求出g（x）的解析式，
由奇函數(shù)的頂?shù)炭傻胓（0）=0，g（x）在R上的解析式可得．

解答：解：由題意得 x＜0時，g（x）=f（x）=2^x，當(dāng) x＞0時，則-x＜0，
g（-x）=f（-x）=2^-x=-g（x），∴g（x）=-2^-x．又由g（x）是奇函數(shù)知，
g（0）=0，∴g（x）=

2x  (x＜0) 0     (x=0) -2-x (x＞0)

，
故答案為：

2x  (x＜0) 0     (x=0) -2-x (x＞0)

．

點(diǎn)評：本題考查奇函數(shù)的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，求函數(shù)的解析式的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．